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克拉默法则是什么
克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。
1、当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；
2、如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零
3、克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。
对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O（n·n！）。即使对于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不稳定的。
它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
克拉默法则法则总结：
1、克莱姆法则的重要理论价值：研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系;与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值。
2、应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:
（1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；
（2）如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零
（3）克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。
3、克莱姆法则的局限性：
（1）当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时，或者当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆法则失
效。
（2）运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。
克拉默法则
克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。
1、当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解。
2、如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零。
3、克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。
克拉默法则（Kramer's rule）是一种直接用行列式解线性方程组的方法。把线性方程组记为矩阵乘法的形式。
Ax=b(1)(1)Ax=b
其中AA为系数矩阵。当AA为N×NN×N的方阵且行列式|A|≠0|A|≠0时（即满秩矩阵），方程有唯一解（见“线性方程组解的结构”）。该解可以用克拉默法则直接写出：
xi=|Ai||A|(i=1,…,N)(2)(2)xi=|Ai||A|(i=1,…,N)
其中AiAi是把AA的第ii列替换为bb而来。
例如：解方程组
令式 1中A=(21−13)A=(21−13)，b=(45)b=(45)，求解方程组。
解：|A|=7|A|=7，|A1|=∣∣∣4153∣∣∣=7|A1|=|4153|=7，|A2|=∣∣∣24−15∣∣∣=14|A2|=|24−15|=14。代入式 2得x=(12)x=(12)。
在数值计算时，克拉默法则解方程组效率较低，直接用高斯消元法求逆矩阵高斯消元法求逆矩阵会更快。
推论1）n元齐次线性方程组有惟一零解的充要条件是系数行列式不等于零，系数矩阵可逆（矩阵可逆=矩阵非奇异=矩阵对应的行列式不为0=满秩=行列向量线性无关）；
2）n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零。
xml法则总结
1.克莱姆法则的重要理论价值：
1）研究了方程组的系数与方程组解的存在性与惟一性关系；
2）与其在计算方面的做用相比，克莱姆法则更具备重大的理论价值。（通常没有计算价值，计算量较大，复杂度过高）
2.应用克莱姆法则判断具备N个方程、N个未知数的线性方程组的解：
1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具备惟一的解；
2）若是方程组无解或者有两个不一样的解，那么方程组的系数行列式一定等于零；
3）克莱姆法则不单单适用于实数域，它在任何域上面均可以成立。
3.克莱姆法则的局限性：
1）当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时，或者当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆法则失效；
2）运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。
不确定的情况
1.当方程组没有解时，称为方程组不兼容或不一致，当存在多个解决方案时，称为不确定性。对于线性方程，不确定的系统将具有无穷多的解（如果它在无限域上），因为解可以用一个或多个可以取任意值的参数来表示。
2.克拉默规则适用于系数行列式非零的情况。在2×2的情况下，如果系数行列式为零，则如果分子决定因子为非零，则系统不兼容，如果分子决定因素为零，则系统不兼容。
3.对于3×3或更高的系统，当系数行列式等于零时，唯一可以说的是，如果任何分子决定因素是非零的，那么系统必须是不兼容的。然而，将所有决定因素置零都不意味着系统是不确定的。 3×3系统x+ y+ z= 1，x+ y+ z= 2，x+ y+ z= 3的一个简单的例子，其中所有决定因素消失（等于零）但系统仍然不兼容。
克拉默法则适用于变量和方程数目相等的线性方程组。克莱姆法则是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系；与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值。
克拉默法则怎么用
克拉默法则解方程组过程：先求系数行列式，再求各未知数对应的行列式，相除得到方程的解。
应用克拉默法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:
（1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；
（2）如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零
（3）克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。
克莱姆法则的局限性：
（1）：当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时，或者当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆法则失效。
（2）：运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。
克拉默法则产生时间：这项法则是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O（n·n！）。即使对于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不稳定的。
作者介绍：克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书，1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的旅行访学。在巴塞尔与约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数学名家，回国后在与他们的长期通信中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。
作者成就：主要著作是《代数曲线的分析引论》（1750），首先定义了正则、非正则、超越曲线和无理曲线等概念，第一次正式引入坐标系的纵轴（Y轴），然后讨论曲线变换，并依据曲线方程的阶数将曲线进行分类。为了确定经过5个点的一般二次曲线的系数，应用了著名的“克莱姆法则”，即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式。该法则于1729年由英国数学家马克劳林得到，1748年发表，但克莱姆的优越符号使之流传。
音乐家克拉默有什么成就
约翰·巴普蒂斯特·克拉默是侨居英国的德国作曲家、钢琴家和音乐出版商。1771年2月24日出生于德国曼海姆一个音乐世家。祖父雅各和父亲威廉都是曼海姆的小提琴家。1772年，威廉去伦敦演出。两年后，妻子也带着小约翰到达伦敦。威廉教儿子从小就学习小提琴，但小约翰的兴趣偏向于钢琴，七岁从本塞学琴，不久改从居留英国的著名钢琴家施勒特和克雷门蒂学习。他在克雷门蒂门下虽仅一年，对艺术性格的形成却得益非浅。1785年起，他从侨居伦敦的德国作曲家阿贝尔学理论作曲，研习克雷门蒂、施勒特、J.C.巴赫、C.P.E.巴赫、D.斯卡拉蒂、J.G.缪特尔、P.D.帕拉第斯、海顿和莫扎特的作品。早在1787年，克拉默就接触到巴赫的《平均律钢琴曲集》，从此对巴赫心摹手追，毕生受用非浅。
1781年4月5日，克拉默在伦敦初次登台，在他父亲一年一度的慈善音乐会上演出。他在1784年的一次音乐会中，曾和克雷门蒂同台演出，演奏两架钢琴的二重奏。1788年，克拉默第一次离开英国去法国和德国的各大城市从事旅行演奏。在法国演奏了J.S.巴赫未经出版的许多手稿。他在早年创作的几首钢琴奏鸣曲，就是在居留法国期间出版的。1791年回到英国，开始活跃于音乐舞台，连续九个演奏季节频频出台演出，成为英国最受欢迎的年轻钢琴家。他怀着雄心壮志，敢于和老一辈的钢琴**进行比赛。他在各种专业音乐会和音乐经纪人萨罗蒙举办的音乐会上大显身手。但是正值萨罗蒙邀请海顿访问伦敦，年轻的克拉默得以和花甲老人海顿在异国相逢，结为忘年之交。1799年，克拉默第二次离开伦敦，去尼德兰、德国和奥地利旅行演奏。他在维也纳遇见了比自己年长一岁的贝多芬，并与海顿重逢。在18世纪最后30年中，他几乎和欧洲所有最著名的音乐家都有交往，其中包括杜赛克、凯鲁比尼、威尔夫尔、胡梅尔和上述的古典**。后来又结识了里斯、卡尔克布雷纳、韦伯、车尔尼、莫舍莱斯、柏辽兹、门德尔松和李斯特。他大力推荐他所赞赏的作曲家的作品，热情洋溢地演奏巴赫和莫扎特，并把贝多芬的奏鸣曲介绍给英国的听众。除了在公开的音乐会上演出外，他还喜欢在私人的音乐**上演奏这些作品，以扩大其社会影响。
1800年以后，克拉默的音乐生涯大部分是在英国度过的。除演出外，他还教私人学生，最高收费达到每教一课收取一个金币（约合21先令）。1816年－1818年他又外出旅行演奏，访问阿姆斯特丹和故乡曼海姆。他继续在国外结交新的音乐同道，但公开演奏已大为减少。18－19世纪之交是他演奏生涯的鼎盛时期，特别是在伦敦，一时声誉鹊起，英国的听众热情地赞赏他的演奏，称他为“光荣的约翰”。他是1813年伦敦好乐协会的创办人之一。1822年皇家音乐学院成立，他被聘为该院的董事。
1824年，克拉默联合爱迪生和比尔，步克雷门蒂开办科拉尔德出版社的后尘，创办了一家“克拉默－爱迪生－皮尔出版公司”，主要出版钢琴乐谱，业务非常兴旺发达。1835年克拉默在伦敦举办了一次告别音乐会后，开始脱离音乐舞台，宣告退休。退休后曾去巴黎居住了十年，1845年回到英国度其余生。1858年4乐16日死于英格兰东南部大伦敦郡肯辛顿镇的寓所，享年87岁，葬于布隆普顿公墓。
克拉默的钢琴演奏受到19世纪几代钢琴家的普遍赞赏。据贝多芬的学生里斯说，贝多芬认为他是当时最优秀的钢琴家。他的富于表情的连奏被当时和后世的钢琴家奉为典范。波希米亚钢琴家莫舍莱斯盛赞他的连奏“几乎把莫扎特的行板演化成为一首声乐曲”。他以精于即兴演奏和十指像飞燕游龙一般挥洒自如著称于世。他的古典风尚的演奏和后世戏剧性的表现方式大异其趣。
克拉默作为一个作曲家，作品主要是钢琴曲，包括100多首奏鸣曲、8首协奏曲、200多首练习曲、各种体裁的钢琴曲（随想曲、舞曲、回旋曲、幻想曲、即兴曲、变奏曲、夜曲、前奏曲），以及四重奏、五重奏、娱乐曲、歌曲等作品。早期的奏鸣曲大都是钢琴**乐器或长笛的重奏曲，格调轻松活泼、通俗易解。1800年后偏向于钢琴独奏的奏鸣曲，有些比较工致严谨，有些仍带有通俗媚世的格调，有些则具有浪漫主义色彩，并加上了幻想性的标题，如《谐体诗》、《末端》、《续篇之一》、《续篇之二》、《续篇之三》、《回到伦敦》、《一半》、《A字》、《B字》、《C字》、《D字》、《第一》、《第二》、《第三》、《克拉默的宠物》、《威尔士的乐趣》等等。这些奏鸣曲的和声织体灵活多变，喜用大幅度游回磨转的伴奏音型。后期奏鸣曲的数量相对减少，但仍含有不少最有价值的俊美动人之作。有迹象表明贝多芬曾从克拉默的奏鸣曲中汲取养料，舒曼也认为克拉默和莫舍莱斯是他们一代作曲家中最杰出的奏鸣曲作者。
克拉默的《钢琴练习曲》84首，分两集出版于1804年和1810年每集各42首。每一首练习曲以一个特性音型为基础，目的在于解决一个技术问题。曲式结构都很简洁。长期以来这部练习曲一向被认为是训练钢琴技术的奠基之作。贝多芬曾手抄其中21曲作为他侄子的钢琴教材，并认为这些练习曲是准备演奏他的作品的最好的基本练习。舒曼也认为克拉默的《钢琴练习曲》是对“心和手”的最佳训练。克雷门蒂对克拉默僭用意大利文Studio（练习）一语啧有烦言，但他的钢琴练习曲《艺术津梁》实际上是在克拉默的影响下创作的。
克拉默在创作84首《钢琴练习曲》获得成功后，又写了《钢琴演奏指南》一书，详述钢琴指法规则和踏板的使用；并继续创作了《16首练习曲》、《12首夜曲体裁的新练习曲》和《100首进阶练习曲》。现在呈现在读者之前的《钢琴练习曲60首》，就是根据克拉默的《100首进阶练习曲》选编而成的，选编者是19世纪德国钢琴家和指挥家冯·比洛，经他编订出版的传统钢琴曲，有巴赫、D.斯卡拉蒂、贝多芬、克拉默、韦伯和肖邦等的作品。
OK，本文到此结束，希望对大家有所帮助。
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